Найменше загальне кратне 7 та 9. Найменше загальне кратне НОК
Математичні висловлювання та завдання вимагають безлічі додаткових знань. НОК – це одне з основних, особливо часто застосовується в Тема вивчається в середній школі, при цьому не є особливо складним у розумінні матеріалом, людині знайомій зі ступенями і таблицею множення не важко виділити необхідні числа і виявити результат.
Визначення
Загальне кратне – число, здатне націло розділитися на два числа одночасно (а та b). Найчастіше це число отримують методом перемноження вихідних чисел a і b. Число має ділитися одночасно на обидва числа, без відхилень.
НОК – це прийняте позначення коротка назва, зібраної з перших букв.
Способи отримання числа
Для знаходження НОК не завжди підходить спосіб перемноження чисел, він краще підходить для простих однозначних або двозначних чисел. прийнято розділяти на множники, що більше число, то більше множників буде.
Приклад №1
Для найпростішого прикладу у школах зазвичай беруться прості, однозначні чи двоцифрові числа. Наприклад, необхідно вирішити наступне завдання, знайти найменше кратне від чисел 7 і 3, рішення досить просте, просто їх перемножити. У результаті є число 21, меншого числа немає.
Приклад №2
Другий варіант завдання набагато складніший. Дано числа 300 і 1260, знаходження НОК – обов’язково. Для вирішення завдання передбачаються такі дії:
Розкладання першого та другого чисел на найпростіші множники. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Перший етап завершено.
Другий етап передбачає роботу з отриманими даними. Кожне з отриманих чисел має брати участь у обчисленні підсумкового результату. Для кожного множника зі складу вихідних чисел береться найбільша кількість входжень. НОК – це загальне число, тому множники з чисел мають у ньому повторяться все до одного, навіть ті, які є в одному примірнику. Обидва початкові числа мають у своєму складі числа 2, 3 і 5, у різних ступенях, 7 є тільки в одному випадку.
Для обчислення підсумкового результату необхідно взяти кожне число в найбільшому їх представленому ступені, в рівняння. Залишається тільки перемножити і отримати відповідь, при правильному заповненні завдання укладається у дві дії без пояснень:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7.
2) НОК = 6300.
Ось і вся задача, якщо спробувати обчислити потрібне число за допомогою перемноження, то відповідь однозначно не буде правильною, оскільки 300 * 1260 = 378 000.
Перевірка:
6300/300 = 21 – вірно;
6300 / 1260 = 5 – правильно.
Правильність отриманого результату визначається за допомогою перевірки – розподілу НОК на обидва вихідні числа, якщо число ціле в обох випадках, то відповідь вірна.
Що означає НОК у математиці
Як відомо, у математиці немає жодної марної функції, ця – не виняток. Найпоширенішим призначенням цієї кількості є приведення дробів до спільного знаменника. Що вивчають зазвичай у 5-6 класах середньої школи. Також додатково є спільним дільником для всіх кратних чисел, якщо такі умови стоять у завданні. Подібний вираз може знайти кратне не тільки до двох чисел, але і до набагато більшої кількості – трьох, п’яти і так далі. Чим більше чисел – тим більше дій у завданні, але складність цього не збільшується.
Наприклад, дані числа 250, 600 і 1500, необхідно знайти їх загальне НОК:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 – на цьому прикладі детально описано розкладання на множники, без скорочення.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 * 5 2;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 * 2 2;
Для того, щоб скласти вираз, потрібно згадати всі множники, в цьому випадку дано 2, 5, 3, – для всіх цих чисел потрібно визначити максимальну міру.
Увага: всі множники необхідно доводити до спрощення, по можливості, розкладаючи до рівня однозначних.
Перевірка:
1) 3000 / 250 = 12 – правильно;
2) 3000/600 = 5 – правильно;
3) 3000 / 1500 = 2 – правильно.
Даний метод не вимагає будь-яких хитрощів чи здібностей рівня генія, все просто і зрозуміло.
Ще один спосіб
У математиці багато що пов’язано, багато що можна вирішити двома і більше способами, те саме стосується пошуку найменшого загального кратного, НОК. Наступний спосіб можна використовувати у випадку із простими двозначними та однозначними числами. Складається таблиця, в яку вносяться по вертикалі множимое, по горизонталі множник, а в клітинах стовпця, що перетинаються, вказується твір. Можна відобразити таблицю у вигляді рядки, береться число й у ряд записуються результати множення цього числа на цілі числа, від 1 до нескінченності, іноді вистачає і 3-5 пунктів, друге і наступні числа піддаються тому ж обчислювальному процесу. Все відбувається до того, як знайдеться спільне кратне.
Дані числа 30, 35, 42 необхідно знайти НОК, що пов’язує всі числа:
1) Кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 і т.д.
2) Кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 і т.д.
3) Кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252 і т.д.
Помітно, що всі числа досить різні, єдине серед них число 210, ось воно і буде НОК. Серед пов’язаних з цим обчисленням процесів є також найбільший спільний дільник, що обчислюється за схожими принципами і часто зустрічається в задачах, що сусідять. Відмінність невелика, але досить значуще, НОК передбачає обчислення числа, яке ділиться попри всі дані вихідні значення, а НОД передбачає під собою обчислення найбільшого значення яке діляться вихідні числа.
Тема «Кратні числа» вивчається у 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття – «кратні числа» та «дільники», відпрацьовується техніка знаходження дільників та кратних натурального числа, уміння знаходити НОК у різний спосіб.
Ця тема є дуже важливою. Знання з неї можна застосувати під час вирішення прикладів з дробами. І тому необхідно знайти спільний знаменник шляхом розрахунку найменшого загального кратного (НОК).
Кратним А вважається ціле число, яке ділиться на А без решти.
Кожне натуральне число має нескінченну кількість кратних чисел. Найменшим вважається воно саме. Кратне не може бути менше самого числа.
Потрібно довести, що число 125 кратне числу 5. Для цього потрібно перше число поділити на друге. Якщо 125 ділиться на 5 без залишку, то відповідь позитивна.
Цей спосіб застосовується для невеликих чисел.
При розрахунку НОК трапляються особливі випадки.
1. Якщо необхідно знайти загальне кратне для 2-х чисел (наприклад, 80 та 20), де одне з них (80) ділиться без залишку на інше (20), то це число (80) і є найменше кратне цих двох чисел.
НОК (80, 20) = 80.
2. Якщо два немає спільного дільника, можна сказати, що й НОК – це твір цих двох чисел.
НОК (6, 7) = 42.
Розглянемо останній приклад. 6 та 7 по відношенню до 42 є дільниками. Вони ділять кратне число без залишку.
У цьому прикладі 6 та 7 є парними дільниками. Їх добуток дорівнює самому кратному числу (42).
Число називається простим, якщо ділиться тільки на себе або на 1 (3:1=3; 3:3=1). Інші називаються складовими.
В іншому прикладі слід визначити, чи є 9 дільником по відношенню до 42.
42: 9 = 4 (залишок 6)
Відповідь: 9 не є дільником числа 42, тому що у відповіді є решта.
Дільник відрізняється від кратного тим, що дільник – це число, на яке ділять натуральні числа, а кратне саме ділиться на це число.
Найбільший загальний дільник чисел a
і b
, помножений на їх найменший кратний, дасть добуток самих чисел a
і b
.
А саме: НОД(а, b) х НОК(а, b) = а х b.
Загальні кратні числа більш складних чисел знаходять в такий спосіб.
Наприклад, знайти НОК для 168, 180, 3024.
Ці числа розкладаємо на прості множники, записуємо у вигляді добутку ступенів:
168 = 2?х3?х7?
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
НОК (168, 180, 3024) = 15120.
Найменше загальне кратне двох чисел безпосередньо з найбільшим загальним дільником цих чисел. Цей зв’язок між НОД та НОК
визначається наступною теоремою.
Теорема.
Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a
і b
дорівнює добутку чисел a
і b
, поділеному на найбільший загальний дільник чисел a
і b
, тобто НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b)
.
Доведення.
Нехай М
– якесь кратне чисел a
і b
. Тобто, М
ділиться на a
, і за визначенням ділимості існує деяке ціле число k
таке, що справедлива рівність M = a · k
. Але М
ділиться на b
, тоді a k
ділиться на b
.
Позначимо НОД(a, b)
як d
. Тоді можна записати рівності a = a 1 · d
і b = b 1 · d
, причому a 1 = a: d
і b 1 = b: d
будуть взаємно простими числами. Отже, отримана в попередньому абзаці умова, що a k
ділиться на b
можна переформулювати так: a 1 d k
ділиться на b 1 d
, а це в силу властивостей подільності еквівалентно умові, що a 1 k
ділиться на b 1
.
Також потрібно записати два важливі наслідки з розглянутої теореми.
Загальні кратні два числа збігаються з кратними їх найменшого загального кратного.
Це дійсно так, тому що будь-яке загальне кратне M
чисел a
і b
визначається рівністю M = НОК (a, b) · t
при деякому цілому значенні t
.
Найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a
і b
дорівнює їхньому твору.
Обґрунтування цього факту є досить очевидним. Оскільки a
і b
взаємно прості, то НОД(a, b)=1
, отже, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b
.
Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел
Знаходження найменшого загального кратного трьох та більшої кількості чисел можна звести до послідовного знаходження НОК двох чисел. Як це робиться, зазначено в наступній теоремі.a 1 , a 2 , …, ak
збігаються із загальними кратними чисел m k-1
і ak
, отже, збігаються з кратними числа mk
. Оскільки найменшим позитивним кратним числа mk
є саме число mk
, то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , …, ak
є mk
.
Список літератури.
- Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
- Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
- Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
- Куликов Л.Я. та ін. Збірник задач з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів
Друге число:
b =
Розділювач розрядів
Без роздільника пробіл ” ´
Результат:
Найбільший спільний дільник НОД( a
, b
) = 6
Найменше загальне кратне НОК( a
, b
) = 468
Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b, називається найбільшим загальним дільником
(НОД) цих чисел. Позначається НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) або hcf(a,b).
Найменше загальне кратне
(НОК) двох цілих чисел a і b є найменшим натуральним числом, яке ділиться на a і b без залишку. Позначається НОК(a,b), або lcm(a,b).
Цілі числа a і b називаються взаємно простими
, якщо вони не мають жодних спільних дільників, крім +1 і −1.
Найбільший спільний дільник
Нехай дані два позитивні числа a
1 і a
2 1). Потрібно знайти спільний дільник цих чисел, тобто. знайти таке число λ
, яке ділить числа a
1 та a
2 одночасно. Опишемо алгоритм.
1) У цій статті під словом число будемо розуміти ціле число.
Нехай a
1 ≥ a
2 і нехай
де m
1 , a
3 деякі цілі числа, a
3 < a
2 (залишок від розподілу a
1 на a
2 повинен бути меншим за a
2).
Припустимо , що ?
_ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Звідси випливає, що спільний дільник a 1 і a 2 є спільним дільником a 2 і a 3 . Справедливо і зворотне, якщо λ спільний дільник a 2 і a 3 , то m 1 a 2 і a 1 = m 1 a 2 + a 3 також поділяються на λ . Отже спільний дільник a 2 і 3 є також спільний дільник a 1 і a 2 . Оскільки a 3 < a 2 ≤ a 1 , можна сказати, що розв’язання завдання з знаходження загального дільника чисел a 1 і a 2 зведено до простішої задачі знаходження загального дільника чисел a 2 і a 3 .
Якщо a
3 ≠0, можна розділити a
2 на a
3 . Тоді
,
де m
1 і a
4 деякі цілі числа ( a
4 залишок від розподілу a
2 на a
3 ( a
4 < a
3)). Аналогічними міркуваннями ми приходимо до висновку, що спільні дільники чисел a
3 та a
4 збігаються із загальними дільниками чисел a
2 та a
3 , а також із загальними дільниками a
1 та a
2 . Оскільки a
1 , a
2 , a
3 , a
4 , … числа, постійно спадають, і оскільки існує кінцеве число цілих чисел між a
2 і 0, то якомусь кроці n
, залишок від розподілу a
n на a
n+ 1 дорівнюватиме нулю ( a
n+2 =0).
.
Кожен загальний дільник λ
чисел a
1 та a
2 також дільник чисел a
2 та a
3 , a
3 та a
4 , …. a
n та a
n+1 . Справедливо та зворотне, спільні дільники чисел a
n і a
n+1 є також дільниками чисел a
n−1 та a
n , …. , a
2 та a
3 , a
1 та a
2 . Але спільний дільник чисел an
і an
+1 є число an
+1, т.к. a
n і a
n+1 без залишку поділяються на a
n+1 (згадаємо, що a
n+2 =0). Отже a
n+1 є дільником чисел a
1 і a
2 .
Зазначимо, що число a
n+1 є найбільшим дільником чисел a
n і a
n+1 , оскільки найбільший дільник a
n+1 є сам a
n+1 . Якщо a
n+1 можна як твори цілих чисел, ці числа також є спільними дільниками чисел a
1 і a
2 . Число a
n+1 називають найбільшим загальним дільником
чисел a
1 та a
2 .
Числа a
1 і a
2 можуть бути як позитивними, і негативними числами. Якщо один із чисел дорівнює нулю, то найбільший загальний дільник цих чисел дорівнюватиме абсолютній величині іншого числа. Найбільшого загального дільника нульових чисел не визначено.
Вищевикладений алгоритм називається алгоритмом Евкліда
знаходження найбільшого загального дільника двох цілих чисел.
Приклад знаходження найбільшого загального дільника двох чисел
Знайти найбільший спільний дільник двох чисел 630 та 434.
- Крок 1. Ділимо число 630 на 434. Залишок 196.
- Крок 2. Ділимо число 434 на 196. Залишок 42.
- Крок 3. Ділимо число 196 на 42. Залишок 28.
- Крок 4. Ділимо число 42 на 28. Залишок 14.
- Крок 5. Ділимо число 28 на 14. Залишок 0.
На кроці 5 залишок від розподілу дорівнює 0. Отже, найбільший загальний дільник чисел 630 і 434 дорівнює 14. Зауважимо, що числа 2 і 7 також є дільниками чисел 630 і 434.
Взаємно прості числа
Визначення
1.
Нехай найбільший спільний дільник чисел a
1 та a
2 дорівнює одиниці. Тоді ці числа називаються взаємно простими числами
, які мають спільного дільника.
Теорема
1.
Якщо a
1 і a
2 взаємно прості числа, а λ
якесь число, то будь-який спільний дільник чисел λa
1 і a
2 є також спільним дільником чисел λ
та a
2 .
Доведення. Розглянемо алгоритм Евкліда знаходження найбільшого загального дільника чисел a
1 і a
2 (див. вище).
.
З умови теореми випливає, що найбільшим загальним дільником чисел a
1 і a
2 і отже a
n і a
n+1 є 1. Тобто. a
n+1 =1.
Помножимо всі ці рівності на λ
тоді
.
Нехай спільний дільник a
1 і 2 є δ
. Тоді δ входить множником в a 1 λ , m 1 a 2 λ і в a 1 λ – m 1 a 2 λ = a 3 λ (див. “Дільність чисел”,Твердження 2). Далі входить множником в a 2 λ і m 2 a 3 λ , і, отже, входить множником в a 2 λ – m 2 a 3 λ = a 4 λ .
Розмірковуючи так ми переконуємося, що δ
входить множником a
n−1 λ
і m
n−1 a
n λ
, і, отже, a
n−1 λ
− m
n−1 a
n λ
= a
n+1 λ
. Оскільки a
n+1 =1, δ
входить множником в λ
. Отже число є
загальним дільником чисел λ
і a
2 .
Розглянемо окремі випадки теореми 1.
Наслідок
1.
Нехай a
та c
прості числа щодо b
. Тоді їх добуток ac
є простим числом щодо b
.
Справді. З теореми 1 ac
і b
мають тих самих спільних дільників, що і c
і b
. Але числа с
і взаємно
прості, тобто. мають єдиний спільний дільник 1. Тоді ac
та b
також мають єдиний спільний дільник 1. Отже ac
та b
взаємно прості.
Наслідок
2.
Нехай a
і b
взаємно прості числа та нехай b
ділить ak
. Тоді b
ділить і k
.
Справді. З умови затвердження ak
та b
мають спільний дільник b
. З огляду на теореми 1, b
може бути спільним дільником b
і k
. Отже b
ділить k
.
Наслідок 1 можна узагальнити.
Наслідок
3.
1. Нехай числа a
1, a
2, a
3, …, a
m прості щодо числа b
. Тоді a
1 a
2 , a
1 a
2 · a
3 , …, a
1 a
2 a
3 ·· · a
m , добуток цих чисел простий щодо числа b
.
2. Нехай маємо два ряди чисел
таких, що кожне число першого ряду просте по відношенню до кожного числа другого ряду. Тоді твір
Потрібно знайти такі числа, які поділяються на кожне із цих чисел.
Якщо число ділиться на a
1 , воно має вигляд sa
1 , де s
якесь число. Якщо q
є найбільшим спільним дільником чисел a
1 і a
2 , то
де s
1 – Деяке ціле число. Тоді
є найменшим загальним кратним чисел
a
1 та a
2 .
a
1 і a
2 взаємно прості, найменше загальне кратне чисел a
1 і a
2:
Потрібно знайти найменше загальне кратне цих чисел.
З вищевикладеного слід, будь-яке кратне чисел a
1 , a
2 , a
3 має бути кратним чисел ε
і a
3 , і назад. Нехай найменший загальний кратний чисел ε
і a
3 є ε
1 . Далі, кратне чисел a
1 , a
2 , a
3 , a
4 має бути кратним чисел ε
1 та a
4 . Нехай найменше загальне кратне чисел ε1
та a4
є ε2
. Отже з’ясували, що це кратні чисел a
1 , a
2 , a
3 ,…, a
m збігаються з кратними деякого певного числа ε
n , яке називають найменшим загальним кратним даних чисел.
У окремому випадку, коли числа a
1 , a
2 , a
3 ,…, a
m взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a
1 , a
2 як було показано вище має вигляд (3). Далі, так як a
3 просте по відношенню до чисел a
1 , a
2 тоді а
3 просте по відношенню числа a
1 · a
2 (Слідство 1). Отже найменше загальне кратне чисел a
1 , a
2 , a
3 є число a
1 · a
2 · a
3 . Розмірковуючи аналогічним чином, ми приходимо до наступних тверджень.
Твердження
1.
Найменше загальне кратне взаємно простих чисел a
1 , a
2 , a
3 ,…, a
m дорівнює їхньому твору a
1 · a
2 · a
3 ··· a
m .
Твердження
2.
Будь-яке число, яке поділяється на кожне із взаємно простих чисел a
1 , a
2 , a
3 ,…, a
m ділиться також на їх добуток a
1 · a
2 · a
3 ··· a
m .
Найбільший спільний дільник
Визначення 2
Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число $b$, $b$ називають дільником числа $a$, а число $a$ називають кратним числа $b$.
Нехай $a$ та $b$-натуральні числа. Число $c$ називають спільним дільником і для $a$ і $b$.
Безліч спільних дільників чисел $a$ і $b$ звичайно, тому що жоден з цих дільників не може бути більшим, ніж $a$. Отже, серед цих дільників є найбільший, який називають найбільшим спільним дільником чисел $a$ і $b$ і для його позначення використовують записи:
$НОД \(a;b)\ або \D\(a;b)$
Щоб знайти найбільший спільний дільник двох, чисел необхідно:
- Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число буде шуканим найбільшим спільним дільником.
Приклад 1
Знайти НОД чисел $121$ і $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Вибрати числа, що входять до розкладання цих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде шуканим найбільшим спільним дільником.
$НОД=2\cdot 11=22$
Приклад 2
Знайти НОД одночленів $63$ та $81$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього:
Розкладемо числа на прості множники
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Вибираємо числа, що входять до розкладання цих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Знайдемо добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде шуканим найбільшим спільним дільником.
$НОД=3\cdot 3=9$
Знайти НОД двох чисел можна і по-іншому, використовуючи безліч дільників чисел.
Приклад 3
Знайти НОД чисел $48$ та $60$.
Рішення:
Знайдемо безліч дільників числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$
Тепер знайдемо безліч дільників числа $60$:$\\left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$
Знайдемо перетин цих множин: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- це безліч буде визначати безліч спільних дільників чисел $48$ і $60$. Найбільший елемент у даній множині буде число $12$. Значить, найбільший загальний дільник чисел $48$ і $60$ буде $12$.
Визначення НОК
Визначення 3
Загальним кратним натуральних чисел
$a$ і $b$ називається натуральне число, яке є кратним і $a$ і $b$.
Загальними кратними чисел називаються числа, які діляться на вихідні без залишку.
Найменше із загальних кратних буде називатися найменшим загальним кратним і позначається НОК$(a;b)$ або K$(a;b).$
Щоб знайти НОК двох чисел, необхідно:
- Розкласти числа на прості множники
- Виписати множники, що входять до складу першого числа та додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Приклад 4
Знайти НОК чисел $99$ та $77$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього
Розкласти числа на прості множники
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Виписати множники, що входять до складу першого
додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде шуканим найменшим загальним кратним
$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Упорядкування списків дільників чисел часто дуже трудомістке заняття. Існує спосіб знаходження НОД, званий алгоритмом Евкліда.
Твердження, на яких заснований алгоритм Евкліда:
Якщо $a$ і $b$ –натуральні числа, причому $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$
Якщо $a$ і $b$ –натуральні числа, такі що $b
Користуючись $D(a;b)= D(ab;b)$, можна послідовно зменшувати ці цифри до тих пір, поки не дійдемо до такої пари чисел, що одне з них ділиться на інше. Тоді найменше з цих чисел і буде шуканим найбільшим спільним дільником для чисел $a$ та $b$.
Властивості НОД та НОК
-
- Будь-яке загальне кратне чисел $a$ і $b$ ділиться на K$(a;b)$
- Якщо $a\vdots b$, то К$(a;b)=a$
Якщо К$(a;b)=k$ і $m$-натуральне число, то К$(am;bm)=km$
Якщо $d$-спільний дільник для $a$ і $b$, то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d} $
Якщо $a\vdots c$ і $b\vdots c$ , то $\frac{ab}{c}$ – загальне кратне чисел $a$ та $b$
Для будь-яких натуральних чисел $a$ та $b$ виконується рівність
$D(a;b)\cdot До(a;b)=ab$
Будь-який спільний дільник чисел $a$ і $b$ є дільником числа $D(a;b)$